5427. На доске нарисован пятиугольник, вписанный в окружность. Маша измерила его углы и сказала, что они равны 80^{\circ}
, 90^{\circ}
, 100^{\circ}
, 130^{\circ}
, 140^{\circ}
(именно в таком порядке). Права ли Маша?
Ответ. Нет.
Решение. Обозначим вершины пятиугольника ABCDE
так, что
\angle EAB=80^{\circ},~\angle ABC=90^{\circ},~\angle BCD=100^{\circ},~\angle CDE=130^{\circ},~\angle DEA=140^{\circ}.
Четырёхугольник ABCE
вписанный, поэтому
\angle EAB+\angle ECB=180^{\circ}.
Тогда
\angle ECB=180^{\circ}-\angle EAB=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}=\angle BCD.
Но луч CE
проходит между сторонами угла BCD
, значит, \angle ECB\lt\angle BCD
.
Полученное противоречие доказывает, что такого пятиугольника не существует.