5435. Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
Ответ. Верно.
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
. Вершинах A
, B
и C
расставим числа
\frac{a+b-c}{2},~\frac{b+c-a}{2},~\frac{c+a-b}{2}
соответственно (они положительны в силу неравенства треугольника). Тогда
\frac{a+b-c}{2}+\frac{b+c-a}{2}=b=AC,
\frac{a+b-c}{2}+\frac{c+a-b}{2}=a=BC,
\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2}=c=AB.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Впишем в треугольник окружность. Тогда отрезки, на которые точки касания делят стороны, равны
\frac{a+c-b}{2},~\frac{a+c-b}{2},~\frac{a+b-c}{2},~\frac{a+b-c}{2},~\frac{b+c-a}{2},~\frac{b+c-a}{2}
(см. задачу 1746). Отрезки, примыкающие к одной вершине, равны (как касательные, проведённые к данной окружности из данной точки). Поставим в каждую вершину длину соответствующего отрезка. Поскольку каждая сторона составлена из двух таких отрезков, условие задачи выполнено.