5436. Для фиксированных a
и b
, не равных одновременно 0, найдите наибольшее и наименьшее значения выражения a\cos\alpha+b\sin\alpha
.
Ответ. \pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольную систему координат xOy
и векторы \overrightarrow{m}=(a;b)
и \overrightarrow{n}=(\cos\alpha;\sin\alpha)
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и векторы \overrightarrow{m}=(a;b)
и \overrightarrow{n}=(\cos\alpha;\sin\alpha)
. Тогда
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=a\cos\alpha+b\sin\alpha.
С другой стороны, если угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
равен \varphi
, то
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi
(см. задачу 900). Следовательно,
a\cos\alpha+b\sin\alpha=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=
=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=1
, т. е. когда вектор \overrightarrow{n}
сонаправлен с фиксированным вектором \overrightarrow{m}
. В этом случае \varphi=0^{\circ}
.
Аналогично
a\cos\alpha+b\sin\alpha=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi\geqslant-|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=-\sqrt{a^{2}+b^{2}},
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=-1
, т. е. когда вектор \overrightarrow{n}
противоположно направлен с фиксированным вектором \overrightarrow{m}
. Тогда \varphi=180^{\circ}
.
Второй способ.
|a\cos\alpha+b\sin\alpha|\leqslant\sqrt{a^{2}+b^{2}}~\Leftrightarrow~|a\cos\alpha+b\sin\alpha|^{2}\leqslant(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~a^{2}\cos^{2}\alpha+2ab\cos\alpha\sin\alpha+b^{2}\sin^{2}\alpha\leqslant a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~a^{2}(1-\cos^{2}\alpha)-2ab\cos\alpha\sin\alpha+b^{2}(1-\sin^{2}\alpha)\geqslant0\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~a^{2}\sin^{2}\alpha-2ab\cos\alpha\sin\alpha+b^{2}\cos^{2}\alpha\geqslant0\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(a\sin\alpha-b\cos\alpha)^{2}\geqslant0,
причём равенство достигается, например, в случае, когда \alpha=\arctg\frac{b}{a}
. Следовательно, наибольшее значение выражения a\cos\alpha+b\sin\alpha
равно \sqrt{a^{2}+b^{2}}
, а наименьшее — (-\sqrt{a^{2}+b^{2}})
.