5439. Найдите наименьшее значение выражения |x+y|+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Указание. Используйте геометрическую интерпретацию каждого из слагаемых рассматриваемой суммы.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
. Заметим, что второе слагаемое рассматриваемой суммы есть расстояние между точками P(1;3)
и M(x;y)
, а первое слагаемое — умноженное на \sqrt{2}
расстояние от точки M
до прямой x+y=0
(см. задачу 4249).
Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно оси Oy
, пересекает прямую x+y=0
в точке K
, а N
— проекция точки P
на прямую x+y=0
. Тогда по формуле расстояния от точки до прямой (см. задачу 4249)
PN=\frac{1+3}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
Следовательно,
|x+y|+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}=MK+MP\geqslant PK\geqslant PN=2\sqrt{2},
причём равенство достигается в случае, когда MK+MP=PK=PN
, т. е. когда точка M
совпадает с N
.