5450. В треугольнике ABC
угол C
прямой. На катете CB
как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N
— середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN
делит пополам биссектрису угла C
.
Указание. Продолжите катет AC
до пересечения с прямой BN
. Докажите, что биссектриса угла C
треугольника ABC
параллельна прямой BE
.
Решение. Пусть E
— точка пересечения прямых AC
и BN
. Треугольник BNC
прямоугольный и равнобедренный, значит, треугольник BCE
также прямоугольный и равнобедренный. Его высота CN
является медианой, значит, N
— середина BE
.
Биссектриса CD
треугольника ABC
параллельна BE
, так как \angle BCD=45^{\circ}
и \angle CBE=45^{\circ}
. Следовательно, медиана AN
треугольника ABE
делит пополам отрезок CD
(см. задачу 2607).