5451. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов её боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
Указание. См. задачу 8291.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями BC=b
, AD=d
, боковыми сторонами AB=a
, CD=c
и диагоналями AC=e
, BD=f
.
Для произвольных точек A
, B
, C
и D
плоскости верно равенство
AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}
(см. задачу 8291). Поменяв местами D
и C
, получим, что
AB^{2}+CD^{2}-AC^{2}-BD^{2}=2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}.
Значит,
a^{2}+c^{2}-e^{2}-f^{2}=AB^{2}+CD^{2}-AC^{2}-BD^{2}=
=2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}=2AD\cdot CB\cos180^{\circ}=-2bd
Следовательно,
e^{2}+f^{2}=a^{2}+c^{2}+2bd.