5454. В данный квадрат со стороной a
впишите квадрат со стороной b
.
Указание. Эти квадраты подобны, а отношение радиусов их описанных окружностей равно отношению сторон.
Решение. Первый способ. Если a=b
, то квадраты совпадают. Пусть a\ne b
. Предположим, что квадрат KLMN
со стороной b
вписан в квадрат ABCD
со стороной a
, причём точки K
, L
, M
, N
лежат на отрезках AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Тогда прямоугольные треугольники AKN
, BLK
, CML
и DNM
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
b=KL\lt BK+BL=BK+AK=a.
В то же время, диагональ квадрата KLMN
не меньше стороны квадрата KLMN
, поэтому b\sqrt{2}\geqslant a
. Следовательно, задача может иметь решение только при \frac{a}{\sqrt{2}}\leqslant b\lt a
.
Заметим, что центры обоих квадратов совпадают (см. задачу 1057). Пусть R
и r
— радиусы окружностей, описанных около квадратов ABCD
и KLMN
соответственно. Эти квадраты подобны, поэтому отношение радиусов их описанных окружностей равно коэффициенту подобия. Значит, \frac{r}{R}=\frac{b}{a}
, откуда r=\frac{bR}{a}
.
Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a
, b
и отрезку R=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}
строим отрезок r=\frac{bR}{a}
(см. задачи 5327 и 2608). С центром в точке O
пересечения диагоналей данного квадрата проводим окружность радиуса r
. Эта окружность либо касается каждой стороны квадрата ABCD
в её середине, либо пересекает каждую из сторон в двух точках (так как \frac{a}{\sqrt{2}}\leqslant b\lt a
). В первом случае получаем единственное решение — квадрат с вершинами в серединах сторон квадрата ABCD
. Во втором — два равных квадрата. При этом вершины каждого из этих квадратов делят соответствующие стороны квадрата ABCD
в одном и том же отношении.
Второй способ. Обозначим BK=x
. Тогда BL=BC-CL=BC-BK=a-x
. По теореме Пифагора BK^{2}+BL^{2}=KL^{2}
, или
x^{2}+(a-x)^{2}=b^{2},~2x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{a\pm\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{2}
. При этом b\geqslant\frac{a\sqrt{2}}{2}
, а так как x\leqslant a
, то b\leqslant a
. Таким образом, задача имеет решение при \frac{a}{\sqrt{2}}\leqslant b\leqslant a
.
При b=\frac{a}{\sqrt{2}}
решение единственное — квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата ABCD
. При a=b
искомый квадрат совпадает с квадратом ABCD
. При \frac{a}{\sqrt{2}}\lt b\lt a
задача имеет два решения.
Построение: по данным отрезкам a
и b
строим отрезок b\sqrt{2}
(см. задачу 5327), затем — отрезок \sqrt{2b^{2}-a^{2}}
(см. задачу 1966), наконец, на стороне AB
— отрезок BK=x=\frac{a\pm\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{2}
(отрезок x=\frac{a\pm\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{2}
).
Аналогично строим остальные вершины искомого квадрата KLMN
.