5456. Дан равносторонний треугольник ABC
. На луче AM
, пересекающем сторону BC
, взята точка M
так, что \angle AMB=20^{\circ}
и \angle AMC=30^{\circ}
. Найдите \angle BAM
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Указание. Точка M
лежит на окружности с центром B
и радиусом BA
.
Решение. Первый способ. Окружность с центром B
радиуса BA
проходит через точку M
, так как BA=BC
, \angle ABC=60^{\circ}
и \angle AMC=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABC
(см. задачу 2900).
Пусть MM_{1}
— диаметр этой окружности. Тогда \angle MAM_{1}=90^{\circ}
, а AB
— медиана прямоугольного треугольника MAM_{1}
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1109),
\angle BAM=\angle AMB=20^{\circ}.
Второй способ. Обозначим AB=BC=AC=a
, \angle BAM=x
. Применив теорему синусов к треугольникам ABM
и ACM
, получим, что \frac{\sin\angle AMB}{AB}=\frac{\sin\angle ABM}{AM}
и \frac{\sin\angle AMC}{AC}=\frac{\sin\angle ACM}{AM}
, или
\frac{\sin20^{\circ}}{a}=\frac{\sin(x+20^{\circ})}{AM},~\frac{\sin30^{\circ}}{a}=\frac{\sin(90^{\circ}-x)}{AM}.
Разделив первое из этих равенств на второе, получим уравнение 2\sin20^{\circ}\cos x=\sin(x+20^{\circ})
, или
\sin(20^{\circ}+x)+\sin(20^{\circ}-x)=\sin(20^{\circ}+x),~\sin(20^{\circ}-x)=0.
Отсюда находим, что 20^{\circ}-x=0^{\circ}
. Следовательно, x=20^{\circ}
.