5461. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
проведена прямая через вершину A
и середину высоты CD
, пересекающая катет BC
в точке M
. Докажите, что \frac{CM}{MB}=\cos^{2}\angle A
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, AD=x
. Пусть K
— середина высоты CD
.
Через вершину C
прямого угла проведём прямую, параллельную гипотенузе AB
. Пусть эта прямая пересекает продолжение отрезка AM
в точке N
. Прямоугольные треугольники CKN
и DKA
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому CN=AD=x
.
Треугольник AMB
подобен треугольнику NMC
по двум углам, поэтому \frac{AB}{CN}=\frac{MB}{CM}
, откуда AB=CN\cdot\frac{MB}{CM}=x\cdot\frac{MB}{CM}
. Из прямоугольного треугольника ADC
находим, что AC=\frac{AD}{\cos\alpha}=\frac{x}{\cos\alpha}
.
Отрезок CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AC^{2}=AD\cdot AB
(см. задачу 2728), или \frac{x^{2}}{\cos^{2}\alpha}=x\cdot x\cdot\frac{MB}{CM}
. Следовательно, \frac{CM}{MB}=\cos^{2}\alpha
. Что и требовалось доказать.