5464. Среди всех прямоугольных треугольников с данной высотой, проведённой из вершины прямого угла, найдите треугольник наименьшего периметра.
Ответ. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Указание. Выразите периметр треугольника через данную высоту и острый угол.
Решение. Пусть ABC
— произвольный прямоугольный треугольник с высотой CH=h
, проведённой из вершины прямого угла. Обозначим \angle BAC=\angle BCH=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников AHC
и CHB
находим, что
AC=\frac{h}{\sin\alpha},~AH=h\ctg\alpha,~BC=\frac{h}{\cos\alpha},~BH=h\tg\alpha.
Заметим, что
\ctg\alpha+\tg\alpha\geqslant2\sqrt{\ctg\alpha\tg\alpha}=2,
\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}\geqslant2\sqrt{\frac{1}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\alpha}}=2\sqrt{\frac{2}{\sin2\alpha}}\geqslant2\sqrt{2},
причём в обоих случаях равенство достигается при \alpha=45^{\circ}
.
Пусть P(\alpha)
— периметр треугольника ABC
. Тогда
P(\alpha)=h\ctg\alpha+h\tg\alpha+\frac{h}{\sin\alpha}+\frac{h}{\cos\alpha}=
=h\left(\ctg\alpha+\tg\alpha+\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}\right)\geqslant h(2+2\sqrt{2})=2h(1+\sqrt{2}),
причём равенство достигается при \alpha=45^{\circ}
. Следовательно, наименьший периметр среди всех рассматриваемых треугольников имеет равнобедренный.