5473. В треугольник ABC
вписан параллелограмм ADEF
, причём вершины D
, E
, F
лежат на сторонах AB
, BC
и AC
соответственно. Через середину M
стороны BC
проведена прямая AM
, пересекающая прямую DE
в точке K
. Докажите, что CFDK
— параллелограмм.
Указание. Достройте треугольник ABC
до параллелограмма ABNC
.
Решение. На продолжении медианы AM
за точку M
отложим отрезок MN=AM
. Тогда ABNC
— параллелограмм (см. задачу 1842).
Пусть H
— точка пересечения прямых DE
и CN
. Поскольку EH\parallel AC\parallel BN
, треугольники CEH
и CBN
подобны, поэтому
CF=EH=BN\cdot\frac{CE}{CB}=AC\cdot\frac{CE}{CB}.
Аналогично подобны треугольники ADK
и ABN
, поэтому
DK=BN\cdot\frac{AD}{AB}=AC\cdot\frac{CE}{CB}.
Значит, CF=DK
.
Противоположные стороны CF
и DK
четырёхугольника CFDK
равны и параллельны, следовательно, CFDK
— параллелограмм.