5478. Катеты прямоугольного треугольника равны a
и b
(a\lt b
). Найдите радиус окружности, проходящей через середину меньшего катета и касающейся гипотенузы в её середине.
Ответ. \frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{4a}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины соответственно гипотенузы AB
и катета BC=a
прямоугольного треугольника ABC
, O
— центр окружности, проходящей через точку N
и касающейся гипотенузы AB
в точке M
, K
— середина средней линии KM
треугольника ABC
.
Тогда MK=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{4}b
, а O
— точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку KM
с прямой, проходящей через точку M
перпендикулярно AB
. Обозначим \angle MOK=\angle CAB=\alpha
, OM=R
. Из прямоугольных треугольников OKM
и ACB
получаем, что
\sin\alpha=\frac{KM}{OM}=\frac{b}{4R},~\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Из равенства \frac{b}{4R}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
находим, что R=\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{4a}
.