5499. В трапецию ABCD
можно вписать окружность. Длины её боковых сторон AD
и BC
равны соответственно 6 и 10, а длина основания CD
больше длины AB
. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей равно \frac{5}{11}
. Найдите длины оснований трапеции и радиус вписанной в неё окружности.
Ответ. 2
, 14
, \frac{2\sqrt{14}}{3}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины боковых сторон соответственно AD
и BC
трапеции ABCD
. Обозначим AB=x
, CD=y
. Тогда MN=\frac{x+y}{2}
. Средняя линия делит высоту трапеции пополам, поэтому высоты трапеций MBCN
и AMND
равны. Значит, площади этих трапеций относятся как полусуммы их оснований. Поэтому
\frac{x+\frac{x+y}{2}}{y+\frac{x+y}{2}}=\frac{5}{11},~\frac{3x+y}{x+3y}=\frac{5}{11},~11(3x+y)=5(x+3y).
Отсюда получаем, что y=7x
, а так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон, т. е. x+7x=6+10
. Следовательно, x=2
, AB=2
, CD=14
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную боковой стороне AD
. Пусть эта прямая пересекает основание CD
в точке K
. Тогда
CK=CD-DK=CD-AB=14-2=12,~BK=AD=6.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в трапецию, p
— полупериметр треугольника BCK
, h=BH
— высота треугольника BCK
. Тогда p=\frac{6+10+12}{2}=14
. По формуле Герона
S_{\triangle BCK}=\sqrt{p(p-6)(p-10)(p-12)}=\sqrt{14\cdot8\cdot4\cdot2}=8\sqrt{14}.
С другой стороны, S_{\triangle BCK}=\frac{1}{2}CK\cdot h=6h
. Из равенства 6h=8\sqrt{14}
находим, что h=\frac{4\sqrt{14}}{3}
. Следовательно, r=\frac{h}{2}=\frac{2\sqrt{14}}{3}
.