5506. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный и параллельный данному, так, чтобы его концы лежали на данной прямой и на данной окружности.
Указание. Рассмотрите параллельный перенос данной окружности (или данной прямой) на вектор \overrightarrow{MN}
(\overrightarrow{NM}
), где MN
— данный отрезок.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть AB
— один из отрезков, равных и параллельных данному отрезку MN
, причём точка A
лежит на данной окружности S
с центром O
, а точка B
— на данной прямой l
.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
, равный вектору \overrightarrow{MN}
, точка A
перейдёт в точку B
, а окружность S
— в окружность S_{1}
, причём точка B
— одна из точек пересечения окружности S_{1}
с прямой l
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть MN
— данный отрезок. Построим образ S_{1}
данной окружности S
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{MN}
(\overrightarrow{NM}
). Пусть B
— одна из точек пересечения окружности S_{1}
с данной прямой l
. Тогда прообраз A
точки B
при этом параллельном переносе есть второй конец искомого отрезка.
Если окружность S_{1}
не пересекает прямую l
, то задача не имеет решений.
Второй способ. Пусть MN
— данный отрезок, l
— данная прямая. Через произвольную точку P
прямой l
проведём прямую, параллельную MN
. Отложим на проведённой прямой от точки P
в разные стороны отрезки PC
и PD
, равные MN
. Через точки C
и D
проведём прямые, параллельные прямой l
. Если эти прямые пересекают данную окружность, то каждая точка пересечения — конец искомого отрезка.
Если ни одна из этих прямых не пересекает окружность, то задача не имеет решений.