5514. Найдите геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла равна данной величине.
Ответ. Отрезок.
Указание. Рассмотрите параллельный перенос одной из сторон данного угла вдоль перпендикуляра к этой стороне на расстояние, равное данной величине.
Решение. На расстоянии, равном данной величине a
, проведём прямую, параллельную стороне OB
данного угла AOB
, и пересекающую сторону OA
в точке C
. Пусть D
— точка проведённой прямой, лежащая внутри угла AOB
. Тогда сумма расстояний, от любой внутренней точки угла AOB
, лежащей на биссектрисе угла OCD
, до сторон OA
и OB
равна a
.
Обратно, если сумма расстояний от некоторой внутренней точки N
угла AOB
до сторон этого угла равна a
, а P
и Q
— проекции этой точки на прямые OA
и OB
соответственно, то
NQ+NP=a,~NQ+NF=a,
где F
— проекция точки N
на прямую CD
. Поэтому NP=NF
. Следовательно, точка N
лежит на биссектрисе угла OCD
.