5518. Даны окружность, две точки P
и Q
этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку M
, чтобы прямые MP
и MQ
отсекали на данной прямой отрезок AB
данной величины.
Указание. Примените параллельный перенос.
Решение. Предположим, что нужная точка M
построена. Пусть AB
— данный отрезок. При параллельном переносе, переводящем точку A
в точку B
, точка Q
переходит в некоторую точку Q_{1}
. Тогда Q_{1}B\parallel QA
, поэтому
\angle PBQ_{1}=\angle PMQ=\frac{1}{2}\smile PQ.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На прямой, проходящей через точку Q
параллельно данной прямой, откладываем отрезок QQ_{1}
заданной величины. На отрезке PQ_{1}
как на хорде строим дугу, вмещающую угол, равный \frac{1}{2}\smile PQ
(см. задачу 2889). Каждая точка пересечения этой дуги с данной прямой есть искомая точка B
.