5521. Окружности радиусов 3 и 9 с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает меньшую окружность в точке B
, а большую — в точке C
. Найдите площадь треугольника BCO_{2}
, если \angle ABO_{1}=30^{\circ}
.
Ответ. \frac{27\sqrt{3}}{2}
или 27\sqrt{3}
.
Решение. Возможны два случая.
Первый случай. Окружности касаются внутренним образом. Точки O_{2}
, O_{1}
и A
лежат на одной прямой. Треугольники BO_{1}A
и CO_{2}A
равнобедренные, значит, \angle ACO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=30^{\circ}
. Отсюда получаем, что AB=2AO_{1}\cos30^{\circ}=6\cos30^{\circ}=3\sqrt{3}
.
Аналогично находим, что AC=9\sqrt{3}
, а так как окружности касаются внутренним образом, то BC=AC-AB=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}
. Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}C\cdot BC\sin\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot9\cdot6\sqrt{3}\sin30^{\circ}=\frac{27\sqrt{3}}{2}.
Второй случай. Окружности касаются внешним образом. Как и в первом случае
\angle BCO_{2}=\angle CAO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=30^{\circ},~AB=3\sqrt{3},~AC=9\sqrt{3}.
Окружности касаются внешним образом, поэтому BC=AB+AC=3\sqrt{3}+9\sqrt{3}=12\sqrt{3}
. Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}C\cdot BC\sin\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot9\cdot12\sqrt{3}\sin30^{\circ}=27\sqrt{3}.