5525. Окружность радиуса 8\sqrt{2}
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M
и N
. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN
.
Ответ. 2\sqrt{103}
или 2\sqrt{7}
.
Указание. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей. Найдите высоту треугольника O_{1}MO_{2}
, проведённую из вершины M
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр окружности радиуса 8\sqrt{2}
, O_{2}
— центр второй окружности, A
— вершина данного прямого угла. Поскольку окружности вписаны в угол, их центры O_{1}
и O_{2}
лежат на его биссектрисе, поэтому AO_{1}=\frac{8\sqrt{2}}{\cos45^{\circ}}=16
. Возможны два случая.
Первый случай. Точка O_{1}
лежит между A
и O_{2}
. Тогда AO_{2}=AO_{1}+O_{1}O_{2}=16+12=28
, а радиус второй окружности равен AO_{2}\cos45^{\circ}=14\sqrt{2}
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=12
, O_{1}M=8\sqrt{2}
, O_{2}M=14\sqrt{2}
. Общая хорда MN
окружностей перпендикулярна линии центров O_{1}O_{2}
и делится ею пополам, поэтому высота MH
треугольника O_{1}MO_{2}
равна половине MN
.
Пусть p
— полупериметр треугольника O_{1}MO_{2}
. Тогда
p=\frac{O_{1}O_{2}+O_{1}M+O_{2}M}{2}=\frac{12+8\sqrt{2}+14\sqrt{2}}{2}=6+11\sqrt{2}.
По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{2})(p-O_{1}M)(p-O_{2}M)}=
=\sqrt{(6+11\sqrt{2})(11\sqrt{2}-6)(6+3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})}=
=\sqrt{(242-36)(36-18)}=\sqrt{206\cdot18}=6\sqrt{103}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot12\cdot MH=6MH.
Из равенства 6MH=6\sqrt{103}
находим, что MH=\sqrt{103}
. Следовательно, MN=2MH=2\sqrt{103}
.
Второй случай. Точка O_{2}
лежит между A
и O_{1}
. Тогда AO_{2}=AO_{1}-O_{1}O_{2}=16-12=4
, а радиус второй окружности равен AO_{2}\cos45^{\circ}=2\sqrt{2}
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=12
, O_{1}M=8\sqrt{2}
, O_{2}M=2\sqrt{2}
. Аналогично первому случаю находим, что
p=\frac{12+8\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=6+5\sqrt{2},~
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{(6+5\sqrt{2})(5\sqrt{2}-6)(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})}=\sqrt{14\cdot18}=6\sqrt{7}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot12\cdot MH=6MH.
Из равенства 6MH=6\sqrt{7}
находим, что MH=\sqrt{7}
. Следовательно, MN=2MH=2\sqrt{7}
.
Примечание. Высоту MH
треугольника O_{1}MO_{2}
можно найти и так.
Первый случай. По теореме косинусов
\cos\angle MO_{2}O_{1}=\frac{O_{2}M^{2}+O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}M^{2}}{2O_{2}M\cdot O_{1}O_{2}}=\frac{2\cdot196+144-2\cdot64}{2\cdot14\sqrt{2}\cdot12}=\frac{17\sqrt{2}}{28},
поэтому
\sin\angle MO_{2}O_{1}=\sqrt{1-\left(\frac{17\sqrt{2}}{28}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{206}}{28},~
MH=O_{2}M\sin\angle MO_{2}O_{1}=14\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{206}}{28}=\sqrt{103}.
Аналогично для второго случая.