5544. В окружности проведены хорды PQ
и CD
. Известно, что PQ=PD=CD=10
, CQ=6
. Найдите CP
.
Ответ. 4\sqrt{10}
или 2\sqrt{10}
.
Решение. Возможны два случая: точки C
и D
лежат по одну или по разные стороны от прямой PQ
. В первом случае по свойству вписанного четырёхугольника \angle PQC=180^{\circ}-\angle PDC
, во втором — по теореме о вписанных углах \angle PDC=\angle PQC
.
Первый случай. Обозначим \angle PDC=\alpha
. Тогда \angle PQC=180^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов из треугольников PDC
и PQC
находим, что
CP^{2}=DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha=100+100-2\cdot10\cdot10\cos\alpha,~
CP^{2}=QC^{2}+QP^{2}-2QC\cdot QP\cos(180^{\circ}-\alpha)=36+100+2\cdot6\cdot10\cos\alpha.~
Из равенства
100+100-2\cdot10\cdot10\cos\alpha=36+100+2\cdot6\cdot10\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{1}{5}
. Следовательно,
CP=\sqrt{DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha}=\sqrt{100+100-2\cdot10\cdot10\cdot\frac{1}{5}}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.
Второй случай. Обозначим \angle PDC=\angle PQC=\alpha
. По теореме косинусов из треугольников PDC
и PQC
находим, что
CP^{2}=DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha=100+100-2\cdot10\cdot10\cos\alpha,~
CP^{2}=QC^{2}+QP^{2}-2QC\cdot QP\cos\alpha=36+100-2\cdot6\cdot10\cos\alpha.~
Из равенства
100+100-2\cdot10\cdot10\cos\alpha=36+100-2\cdot6\cdot10\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{4}{5}
. Следовательно,
CP=\sqrt{DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha}=\sqrt{100+100-2\cdot10\cdot10\cdot\frac{4}{5}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.