5548. Окружность проходит через вершины B
и C
треугольника ABC
и пересекает стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Отрезки CD
и BE
пересекаются в точке O
. Пусть M
и N
— центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE
и ODE
. Докажите, что середина меньшей дуги DE
лежит на прямой MN
.
Решение. Середину меньшей дуги DE
обозначим через K
(рис. 1). Тогда
\angle MEK=\angle MED-\angle KED=\angle MED-\angle KCD=
=\frac{1}{2}\angle AED-\frac{1}{2}\angle ECD=\frac{1}{2}\angle CDE=\angle EDN
(в частности, точка K
лежит внутри угла MED
, так как \angle MED\gt\angle KED
). Аналогично, \angle MDK=\angle DEN
. Пусть прямые DK
и EK
пересекают описанную окружность треугольника DEM
соответственно в точках P
и Q
(рис. 2). Поскольку DK=EK
, то
\angle KED=\angle KDE=\angle PDE=\angle PQE,
откуда PQ\parallel DE
. Далее,
\angle QPM=\angle QEM=\angle KEM=\angle EDN
и аналогично \angle PQM=\angle DEN
. Отсюда вытекает, что треугольники DEN
и PQM
гомотетичны, причём K
является центром гомотетии (как точка пересечения прямых QE
и PD
). Следовательно, MN
проходит через K
.