5557. Угол при вершине C
треугольника ABC
равен 30^{\circ}
. На сторонах AB
и AC
как на диаметрах построены окружности, D
— точка их пересечения, отличная от A
. Известно, что BD:DC=1:2
. Найдите синус угла при вершине A
.
Ответ. \frac{3\sqrt{21}}{14}
или \frac{\sqrt{21}}{14}
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ADB=90^{\circ}
. Аналогично \angle ADC=90^{\circ}
. Значит, точка D
лежит на прямой BC
. Положим BD=x
, DC=2x
. Из прямоугольных треугольников ADC
и ADB
находим, что
AD=CD\tg30^{\circ}=\frac{2x}{\sqrt{3}},~AB=\sqrt{AD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}x^{2}+x^{2}}=\frac{x\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.
Возможны два случая: угол ABC
острый или тупой (прямым он быть не может, так как тогда точка D
совпала бы с B
, что невозможно по условию). Обозначим \angle BAC=\alpha
.
В первом из этих случаев точка D
лежит на отрезке BC
, поэтому BC=BD+DC=x+2x=3x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin30^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin30^{\circ}}{AB}=\frac{3x\cdot\frac{1}{2}}{\frac{x\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}.
Во втором случае точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
, поэтому BC=DC-BD=2x-x=x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin30^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin30^{\circ}}{AB}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{\frac{x\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{21}}{14}.