5562. Радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
равны 1 и 8. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных и прямой O_{1}O_{2}
, если известно, что O_{1}O_{2}=21
.
Ответ. 12 или 60.
Решение. Пусть O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому OO_{1}=R+1
, OO_{2}=R+8
. Высота треугольника O_{1}OO_{2}
, проведённая из вершины O
, равна R
, значит,
S_{\triangle O_{1}OO_{2}}=\frac{1}{2}\cdot21\cdot R=\frac{21R}{2}.
Пусть p
— полупериметр этого треугольника. Тогда p=\frac{1}{2}(R+1+R+8+21)=R+15
. По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}OO_{2}}=\sqrt{p(p-OO_{1})(p-OO_{2})(p-O_{1}O_{2})}=
=\sqrt{(R+15)\cdot14\cdot7\cdot(R-6)}=\sqrt{98(R+15)(R-6)}.
Следовательно, \sqrt{98(R+15)(R-6)}=\frac{21R}{2}
.
После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения, умножения на 4, деления на 49 и приведения подобных, получим квадратное уравнение R^{2}-72R+12\cdot60=0
, корни которого равны 12 и 60.
В первом случае точка касания искомой окружности с прямой O_{1}O_{2}
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, во втором — на продолжении этого отрезка.