5564. Окружность радиуса 12\sqrt{2}
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M
и N
. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN
.
Ответ. 8\sqrt{14}
или 8\sqrt{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр окружности радиуса 12\sqrt{2}
, O_{2}
— центр второй окружности, A
— вершина данного прямого угла. Поскольку окружности вписаны в угол, их центры O_{1}
и O_{2}
лежат на его биссектрисе, поэтому AO_{1}=\frac{12\sqrt{2}}{\cos45^{\circ}}=24
. Возможны два случая.
Первый случай. Точка O_{1}
лежит между A
и O_{2}
. Тогда AO_{2}=AO_{1}+O_{1}O_{2}=24+16=40
, а радиус второй окружности равен AO_{2}\cos45^{\circ}=20\sqrt{2}
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=16
, O_{1}M=12\sqrt{2}
, O_{2}M=20\sqrt{2}
. Общая хорда MN
окружностей перпендикулярна линии центров O_{1}O_{2}
и делится ею пополам, поэтому высота MH
треугольника O_{1}MO_{2}
равна половине MN
.
Пусть p
— полупериметр треугольника O_{1}MO_{2}
. Тогда
p=\frac{O_{1}O_{2}+O_{1}M+O_{2}M}{2}=\frac{16+12\sqrt{2}+20\sqrt{2}}{2}=8+16\sqrt{2}.
По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{2})(p-O_{1}M)(p-O_{2}M)}=
=\sqrt{(8+16\sqrt{2})(16\sqrt{2}-8)(8+4\sqrt{2})(8-4\sqrt{2})}=
=\sqrt{(512-64)(64-32)}=\sqrt{448\cdot32}=32\sqrt{14}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot16\cdot MH=8MH.
Из равенства 8MH=32\sqrt{14}
находим, что MH=4\sqrt{14}
. Следовательно, MN=2MH=8\sqrt{14}
.
Второй случай. Точка O_{2}
лежит между A
и O_{1}
. Тогда AO_{2}=AO_{1}-O_{1}O_{2}=24-16=8
, а радиус второй окружности равен AO_{2}\cos45^{\circ}=4\sqrt{2}
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=16
, O_{1}M=12\sqrt{2}
, O_{2}M=4\sqrt{2}
. Аналогично первому случаю находим, что
p=\frac{16+12\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}=8+8\sqrt{2},~
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{(8+8\sqrt{2})(8\sqrt{2}-8)(8-4\sqrt{2})(8+4\sqrt{2})}=
=\sqrt{(128-64)(64-32)}=\sqrt{64\cdot32}=32\sqrt{2}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot16\cdot MH=8MH.
Из равенства 8MH=32\sqrt{2}
находим, что MH=4\sqrt{2}
. Следовательно, MN=2MH=8\sqrt{2}
.
