5565. Окружность радиуса 10\sqrt{2}
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M
и N
. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN
.
Ответ. 2\sqrt{151}
или 2\sqrt{31}
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр окружности радиуса 10\sqrt{2}
, O_{2}
— центр второй окружности, A
— вершина данного прямого угла. Поскольку окружности вписаны в угол, их центры O_{1}
и O_{2}
лежат на его биссектрисе, поэтому AO_{1}=\frac{10\sqrt{2}}{\cos45^{\circ}}=20
. Возможны два случая.
Первый случай. Точка O_{1}
лежит между A
и O_{2}
. Тогда AO_{2}=AO_{1}+O_{1}O_{2}=20+12=32
, а радиус второй окружности равен AO_{2}\cos45^{\circ}=16\sqrt{2}
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=12
, O_{1}M=10\sqrt{2}
, O_{2}M=16\sqrt{2}
. Общая хорда MN
окружностей перпендикулярна линии центров O_{1}O_{2}
и делится ею пополам, поэтому высота MH
треугольника O_{1}MO_{2}
равна половине MN
.
Пусть p
— полупериметр треугольника O_{1}MO_{2}
. Тогда
p=\frac{O_{1}O_{2}+O_{1}M+O_{2}M}{2}=\frac{12+10\sqrt{2}+16\sqrt{2}}{2}=6+13\sqrt{2}.
По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{2})(p-O_{1}M)(p-O_{2}M)}=
=\sqrt{(6+13\sqrt{2})(13\sqrt{2}-6)(6+3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})}=
=\sqrt{(338-36)(36-18)}=\sqrt{302\cdot18}=6\sqrt{151}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot12\cdot MH=6MH.
Из равенства 6MH=6\sqrt{151}
находим, что MH=\sqrt{151}
. Следовательно, MN=2MH=2\sqrt{151}
.
Второй случай. Точка O_{2}
лежит между A
и O_{1}
. Тогда AO_{2}=AO_{1}-O_{1}O_{2}=20-12=8
, а радиус второй окружности равен AO_{2}\cos45^{\circ}=4\sqrt{2}
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=12
, O_{1}M=10\sqrt{2}
, O_{2}M=4\sqrt{2}
. Аналогично первому случаю находим, что
p=\frac{12+10\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}=6+7\sqrt{2},~
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{(6+7\sqrt{2})(7\sqrt{2}-6)(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})}=
=\sqrt{(98-36)(36-18)}=\sqrt{62\cdot18}=6\sqrt{31}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot12\cdot MH=6MH.
Из равенства 6MH=6\sqrt{31}
находим, что MH=\sqrt{31}
. Следовательно, MN=2MH=2\sqrt{31}
.
