5574. В параллелограмме ABCD
окружность радиуса 2 с центром на отрезке AD
проходит через точку A
и касается отрезка CD
в точке E
такой, что угол AEC
равен \arctg3
. Найдите:
1) высоту AF
параллелограмма и длину отрезка AD
;
2) площадь параллелограмма, если BC=CE
.
Ответ. \frac{18}{5}
, \frac{9}{2}
, \frac{108}{5}
.
Решение. 1) Обозначим \angle AEC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=3,~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}},~
\cos2\alpha=cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{1}{10}-\frac{9}{10}=-\frac{4}{5}.
Пусть O
— центр данной окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle AOE=2\angle AEC=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника AOE
находим, что
AE=2OE\sin\frac{1}{2}\angle AOE=2OE\sin\alpha=2\cdot2\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{12}{\sqrt{10}}.
Пусть P
— проекция точки O
на прямую AB
. Тогда точка O
лежит на отрезке EP
, а \angle PAE=\angle AEC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника APE
находим, что
EP=AE\sin\alpha=\frac{12}{\sqrt{10}}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{18}{5}.
Следовательно AF=EP=\frac{18}{5}
.
Обозначим \angle ADC=\beta
. Заметим, что \beta\lt90^{\circ}
, так как точка E
лежит на стороне CD
. По теореме о внешнем угле треугольника
\beta=\angle ADE=\angle AOE-\angle OED=2\alpha-90^{\circ},~\sin\beta=\sin(2\alpha-90^{\circ})=-\cos2\alpha=\frac{4}{5}.
Следовательно,
AD=\frac{AF}{\sin\angle ADC}=\frac{AF}{\sin\beta}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{9}{2}.
2) Поскольку
\ctg\beta=\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\beta}-1}=\sqrt{\frac{25}{16}-1}=\frac{3}{4},
из прямоугольного треугольника ODE
находим, что
DE=OE\ctg\beta=2\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}.
Значит,
CD=CE+DE=BC+DE=AD+DE=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6.
Следовательно,
S_{ABCD}=CD\cdot AF=6\cdot\frac{18}{5}=\frac{108}{5}.