5575. В треугольнике ABC
окружность радиуса \frac{13}{3}
с центром на отрезке BC
проходит через точку B
и касается отрезка AC
в точке D
такой, что угол ADB
равен \arctg\frac{3}{2}
. Найдите:
1) высоту BF
треугольника ABC
и длину отрезка CD
;
2) площадь треугольника ABC
, если AB=CD
.
Ответ. 6
, \frac{52}{5}
, \frac{6}{5}(36+\sqrt{451})
.
Решение. 1) Обозначим \angle ADB=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{3}{2},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~
\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{3}{1-\frac{9}{4}}=-\frac{12}{5}.
Пусть O
— центр окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle BOD=2\angle ADB=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника BOD
находим, что
BD=2OB\sin\frac{1}{2}\angle BOD=2OB\sin\alpha=2\cdot\frac{13}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}.
Следовательно,
BE=BD\sin\alpha=2\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=6.
Из прямоугольного треугольника COD
находим, что
CD=OD\tg\angle COD=OD\tg(180^{\circ}-2\alpha)=-\frac{13}{3}\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{52}{5}.
2) Из прямоугольных треугольников ABE
и BDE
находим, что
AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{CD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{\left(\frac{52}{5}\right)^{2}-6^{2}}=\frac{\sqrt{52^{2}-30^{2}}}{5}=
=\frac{\sqrt{(52-30)(52+30)}}{5}=\frac{\sqrt{22\cdot82}}{5}=\frac{2\sqrt{11\cdot41}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{451},
DE=\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52-36}=4.
Тогда
AC=AE+DE+CD=\frac{2}{5}\sqrt{451}+4+\frac{52}{5}=\frac{2}{5}(36+\sqrt{451}).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}(36+\sqrt{451})\cdot6=\frac{6}{5}(36+\sqrt{451}).