5580. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD
пересекаются в точке O
, а её меньшее основание равно 2. Окружность радиуса \frac{3}{2}
с центром в точке O
касается меньшего основания BC
и боковой стороны CD
трапеции. Найдите основание AD
и боковую сторону трапеции.
Ответ. \frac{26}{3}
, \frac{26}{3}
.
Указание. Треугольник ABD
— равнобедренный.
Решение. Первый способ. Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
соответственно, P
— проекция точки B
на большее основание AD
. Поскольку трапеция равнобедренная, данная окружность касается боковой стороны AB
, основания BC
в точке M
и ON\perp AD
. Обозначим AD=y
, BP=x
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому BD
— биссектриса угла ABC
. Тогда
\angle ADB=\angle CBD=\angle ABD,
значит, треугольник ABD
равнобедренный, AB=AD=y
. Кроме того,
AP=\frac{AD-BC}{2}=\frac{y-2}{2}
(см. задачу 1921).
По теореме Пифагора AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}
, или
y^{2}-\left(\frac{y-2}{2}\right)^{2}=x^{2},~\left(y-\frac{y-2}{2}\right)\left(y+\frac{y-2}{2}\right)=x^{2},
(y+2)(3y-2)=4x^{2}.
Треугольники BOC
и DOA
подобны, значит, отношение их соответствующих высот OM
и ON
равно коэффициенту подобия, т. е. \frac{2}{y}
. Тогда
\frac{OM}{BP}=\frac{OM}{MN}=\frac{2}{y+2},
а так как \frac{OM}{BP}=\frac{3}{2x}
, то \frac{2}{y+2}=\frac{3}{2x}
. Отсюда получаем, что x=\frac{3}{4}(y+2)
. Учитывая равенство (y+2)(3y-2)=4x^{2}
, находим, что y=\frac{26}{3}
. Следовательно, AD=y=\frac{26}{3}
.
Второй способ. Поскольку трапеция ABCD
равнобедренная, окружность касается обеих боковых сторон. Пусть K
— точка касания с боковой стороной AB
, M
— точка касания с основанием BC
. Точка M
является серединой BC
, BM=CM=1
; BK=BM=1
. Из прямоугольного треугольника CMO
по теореме Пифагора
CO=\sqrt{CM^2+MO^2}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому \angle ABD=\angle CBD=\angle BDA
. Следовательно, треугольник ABD
равнобедренный. Обозначим AB=AD=x
. Тогда AK=AB-BK=x-1
. По свойству биссектрисы BO
треугольника ABC
получаем:
AO=\frac{AB}{BC}\cdot OC=\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{x\sqrt{13}}{4}.
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AKO
:
AO^2=AK^2+KO^2,
\frac{13}{16}x^2=(x-1)^2+\frac{9}{4},
откуда x=2
или x=\frac{26}{3}
. Но поскольку по условию x=AD\gt BC=2
, годится лишь второй корень.