5611. Из точки M
, лежащей на диагонали параллелограмма ABCD
, опустили перпендикуляры MK
, MP
, ML
и MQ
на стороны соответственно AB
, BC
, CD
и AD
(или их продолжения).
а) Докажите, что треугольники KMP
и LMQ
равновелики.
б) Найдите площадь параллелограмма, если один из его углов равен 30^{\circ}
, а площадь четырёхугольника KPLQ
равна 5.
Ответ. 40.
Указание. Рассмотрите две пары подобных прямоугольных треугольников (или примените метод вспомогательной окружности).
Решение. Первый способ. а) Прямоугольные треугольники AMQ
и CMP
подобны. Точно так же подобны треугольники AMK
и CML
, поэтому MP:MQ=MC:MA=ML:MK
. Отсюда следует подобие треугольников PML
и QMK
. Тогда накрест лежащие углы MPL
и MQK
равны, а поэтому прямые NK
и ML
параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм или трапеция. В любом случае треугольники KMP
и LMQ
равновелики (см. задачу 3017).
б) Обозначим площадь параллелограмма S
, а его острый угол — \alpha
. Угол между диагоналями KL
и PQ
четырёхугольника KPLQ
равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми AB
и AD
, т. е. этот угол равен \alpha
. Поэтому площадь четырёхугольника равна:
\frac{1}{2}KL\cdot PQ\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{S}{AB}\cdot\frac{S}{AD}=
=\frac{S\cdot AB\cdot AD\sin^{2}\alpha}{2AB\cdot AD}=\frac{S\sin^{2}\alpha}{2}=5.
Подставляя \alpha=30^{\circ}
и S=5
, получаем, что
S=\frac{5\cdot2}{\sin^{2}30^{\circ}}=\frac{10}{\frac{1}{4}}=40.
Второй способ. а) Из точек P
и L
отрезок MC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MC
. Вписанные в эту окружность углы MLP
и MCP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle MLP=\angle MCP
.
Аналогично докажем, что \angle MKQ=\angle MAQ
, а так как \angle MAQ=\angle MCP
, то \angle MLP=\angle MKQ
. Следовательно, PL\parallel KQ
.