5614. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны BC
в точке M
. Окружность с центром O_{1}
касается стороны BC
в точке N
, а также касается продолжений сторон AC
и AB
.
а) Докажите, что BN=CM
.
б) Найдите OO_{1}
, если известно, что AC=10
, BC=24
, AB=26
.
Ответ. 8\sqrt{13}
.
Решение. а) Пусть окружность с центром O
касается стороны AC
в точке K
, а окружность с центром O_{1}
касается продолжения стороны AB
в точке L
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
CM=p-AB,~BN=BL=AL-AB=p-AB
(см. задачи 219 и 4805). Следовательно, BN=CM
.
б) Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, так как
AC^{2}+BC^{2}=24^{2}+10^{2}=676=26^{2}=AB^{2}.
Радиус окружности с центром O
, вписанной в треугольник ABC
, равен
p-AB=30-26=4,
а радиус окружности с центром O_{1}
, касающейся продолжения катета AC
в точке E
, равен
p-AC=30-10=20.
Пусть F
— проекция точки O
на O_{1}E
. Из прямоугольного треугольника OFO_{1}
находим, что
OO_{1}=\sqrt{O_{1}F^{2}+OF^{2}}=\sqrt{(O_{1}E-FE)^{2}+KE^{2}}=
=\sqrt{O_{1}E-MK)^{2}+(CE+CK)^{2}}=\sqrt{(20-4)^{2}+(20+4)^{2}}=
=\sqrt{16^{2}+24^{2}}=8\sqrt{13}.