5616. Окружность с центром O
касается боковой стороны AB
равнобедренного треугольника ABC
, продолжения боковой стороны AC
и продолжения основания BC
в точке N
. Точка M
— середина основания BC
.
а) Докажите, что MN=AC
.
б) Найдите OC
, если стороны треугольника ABC
равны 5, 5 и 8.
Ответ. 3\sqrt{10}
.
Решение. а) Пусть указанная окружность касается стороны AB
в точке K
, а продолжения стороны AC
— в точке L
. Обозначим BM=CM=a
, AC=AB=b
, BN=BK=x
. Тогда CL=CN
и AK=AL=b-x
, поэтому b+(b-x)=2a+x
, откуда x=b-a
. Следовательно,
MN=MB+BN=a+x=a+(b-a)=b=AC.
б) Центр O
указанной окружности лежит на биссектрисе угла BAL
, а так как AM
— биссектриса смежного с ним угла BAC
, то \angle OAM=90^{\circ}
, поэтому AONM
— прямоугольник. Значит,
ON=AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{25-16}=3.
Следовательно,
OC=\sqrt{CN^{2}+ON^{2}}=\sqrt{(CM+MN)^{2}+ON^{2}}=
=\sqrt{(CM+AC)^{2}+ON^{2}}=\sqrt{(4+5)^{2}+3^{2}}=3\sqrt{10}.