5618. На основаниях AD
и BC
трапеции ABCD
построены вне трапеции прямоугольные треугольники BPC
и DQA
с прямыми углами при вершинах P
и Q
и равными углами при вершинах B
и D
.
а) Докажите, что прямая PQ
проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
б) Прямая PQ
пересекает основание BC
в точке M
. Найдите BM
, если известно, диагонали трапеции равны и перпендикулярны, BC=12
и \angle PBC=\angle QDA=\arctg2
.
Ответ. 4.
Решение. а) Пусть прямые BD
и PQ
пересекаются в точке O
. Из равенства углов PBC
и QDA
следует параллельность сторон BP
и DQ
треугольников BOP
и DOQ
, значит, эти треугольники подобны, а так как подобны прямоугольные треугольники BPC
и DQA
, то \frac{PO}{OQ}=\frac{BP}{DQ}=\frac{BC}{AD}
. Аналогично докажем, что если O_{1}
— точка пересечения AC
и PQ
, то \frac{PO_{1}}{O_{1}Q}=\frac{BC}{AD}
, поэтому точки O
и O_{1}
совпадают с точкой пересечения диагоналей трапеции. Следовательно, прямая PQ
проходит через точку пересечения диагоналей BD
и AC
трапеции ABCD
.
б) Из точек P
и O
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Вписанные в эту окружность углы BPO
и CPO
опираются на равные хорды OB
и OC
(диагонали трапеции равны, поэтому OB=OC
), значит, PM
— биссектриса треугольника BPC
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CM}{BM}=\frac{CP}{BP}=\tg\angle PBC=2.
Следовательно,
BM=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}\cdot12=4.