5622. Медианы LP
и MQ
треугольника KLM
перпендикулярны и пересекаются в точке G
.
а) Докажите, что отрезок PQ
равен медиане GE
треугольника LGM
.
б) Найдите PQ
, если известно, что KL=22
и KM=31
.
Ответ. 8,5.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. а) Отрезок GE
— медиана прямоугольного треугольника MGL
, проведённая из вершины прямого угла, а PQ
— средняя линия треугольника KLM
, следовательно,
GE=\frac{1}{2}ML=PQ.
б) Обозначим GP=x
, GQ=y
. Тогда GL=2x
, GM=2y
. Применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам LGQ
и MGP
, получим систему
\syst{4x^{2}+y^{2}=121\\x^{2}+4y^{2}=\frac{961}{4},\\}
из которой находим, что
5x^{2}+5y^{2}=121+\frac{961}{4}=\frac{1445}{4}.
Значит,
x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1445}{4}=\frac{289}{4}.
Следовательно,
PQ=\frac{1}{2}ML=\frac{1}{2}\sqrt{GL^{2}+GP^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}=
=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}=8{,}5.