5624. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
, причём BB_{1}\perp CC_{1}
.
а) Докажите, что из отрезков A_{1}M
, A_{1}B_{1}
и A_{1}C_{1}
можно построить треугольник.
б) Найдите площадь этого треугольника, если BB_{1}=18
и CC_{1}=9
.
Ответ. 27.
Решение. а) Отрезок A_{1}M
— медиана прямоугольного треугольника BMC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому A_{1}M=\frac{1}{2}BC
. По теореме о средней линии треугольника A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB
и A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}AC
. Поскольку из отрезков BC
, AB
и AC
можно построить треугольник, то из их половин A_{1}M
, A_{1}B_{1}
и A_{1}C_{1}
также можно построить треугольник.
б) Этот треугольник подобен исходному с коэффициентом \frac{1}{2}
, следовательно, его площадь S
в четыре раза меньше площади треугольника ABC
.
Поскольку
MB=\frac{2}{3}BB_{1}=\frac{2}{3}\cdot18=12,~MC=\frac{2}{3}CC_{1}=\frac{2}{3}\cdot9=6,
а \angle BMC=90^{\circ}
, то
S_{\triangle BMC}=\frac{1}{2}MB\cdot MC=\frac{1}{2}\cdot12\cdot6=36.
Тогда (см. задачу 3013)
S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BMC}=108.
Следовательно,
S=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot108=27.