5630. В треугольник ABC
вписана окружность. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны BC
и продолжений двух других сторон.
а) Докажите, что расстояние между точками касания этих окружностей с прямой AB
равно длине стороны BC
.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, \angle ACB=90^{\circ}
, \angle BAC=30^{\circ}
, а радиус меньшей окружности равен \sqrt{2}
.
Ответ. 4.
Решение. а) Пусть окружность с центром O_{1}
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
, AC
и BC
в точках M
, K
и P
соответственно, а окружность с центром O_{2}
касается продолжения стороны AB
в точке N
. Тогда, если p
— полупериметр треугольника ABC
, то
BM=BP,~AN=p,~BN=AN-AB=p-AB=CP
(см. задачи 219 и 4805). Следовательно,
MN=BM+BN=BP+CP=BC.
б) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому \angle O_{1}CO_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов. Кроме того, точки A
, O_{1}
и O_{2}
лежат на биссектрисе угла BAC
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CO_{1}O_{2}=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}.
Четырёхугольник O_{1}KCP
— квадрат, поэтому O_{1}C=O_{1}P\sqrt{2}=2
. Из прямоугольного треугольника O_{1}CO_{2}
находим, что
O_{1}O_{2}=2O_{1}C=2\cdot2=4.