5636. Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность.
а) Докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равна полусумме оснований.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, если её диагональ равна \sqrt{41}
, а большее основание равно 8.
Ответ. \frac{15}{8}
.
Решение. а) Поскольку около трапеции можно описать окружность, эта трапеция равнобедренная (см. задачу 5003), следовательно, проекция её диагонали на большее основание равна полусумме оснований (см. задачу 1921).
б) Пусть ABCD
— данная трапеция, AD=8
, AC=\sqrt{41}
, CH
— высота трапеции. Обозначим BC=x
. Поскольку трапеция равнобедренная и в неё можно вписать окружность, полусумма оснований AD
и BC
равна боковой стороне (см. задачу 1930), т. е. CD=\frac{8+x}{2}
. Кроме того, AH
— проекция диагонали AC
на большее основание AD
, поэтому
AH=\frac{8+x}{2},~DH=\frac{8-x}{2}.
Применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам AHC
и DHC
, получим, что AC^{2}-AH^{2}=CD^{2}-DH^{2}
, или
41-\left(\frac{x+8}{2}\right)^{2}=\left(\frac{x+8}{2}\right)^{2}-\left(\frac{8-x}{2}\right)^{2}
Из этого уравнения находим, что BC=x=2
. Тогда CD=5
, DH=3
, CH=4
.
Пусть M
— проекция центра O
окружности, описанной около трапеции ABCD
, на боковую сторону CD
; K
и N
— точки касания вписанной окружности с основанием BC
и боковой стороной CD
соответственно, Q
— центр вписанной окружности.
Тогда M
— середина CD
, K
— середина BC
,
CN=CK=1,~CM=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2},~
MN=CM-CN=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}.
Обозначим \angle DCH=\alpha
. Тогда \cos\alpha=\frac{CH}{CD}=\frac{4}{5}
. Пусть F
— проекция точки Q
на OM
. Тогда OQMN
— прямоугольник, поэтому FQ=MN=\frac{3}{2}
, а так как OQ\parallel CH
и FQ\parallel CD
, то \angle FQO=\angle DCH=\alpha
. Из прямоугольного треугольника FQO
находим, что
OQ=\frac{FQ}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{5}}=\frac{15}{8}.