5644. Окружность с центром O
и окружность вдвое меньшего радиуса касаются внутренним образом в точке E
. Диаметр PQ
большей окружности пересекает меньшую окружность в точке H
, отличной от O
. Луч EH
пересекает большую окружность в точке F
.
а) Докажите, что H
— середина EF
.
б) Найдите расстояния от точки O
до хорд EP
и EQ
, если радиус большей окружности равен 169, а OH=119
.
Ответ. 156, 65.
Решение. а) Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, а диаметр меньшей окружности равен радиусу большей, поэтому OE
— диаметр меньшей окружности. Точка H
лежит на окружности с диаметром OE
, значит, OH\perp EF
. Диаметр PQ
большей окружности перпендикулярен её хорде EF
, следовательно, он делит её пополам.
б) Пусть точка H
лежит между O
и P
. Точка E
лежит на окружности с диаметром PQ
, значит, треугольник PEQ
прямоугольный, причём EH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
PE^{2}=PQ\cdot PH=PQ(OP-OH)=2\cdot169(169-119)=2\cdot169\cdot50=169\cdot100,
значит, PE=130
. Аналогично
QE^{2}=PQ\cdot QH=PQ(OQ+OH)=2\cdot169(169+119)=2\cdot169\cdot288=169\cdot576,
значит, QE=13\cdot24=312
.
Пусть A
и B
— точки пересечения отрезков соответственно EP
и EQ
с меньшей окружностью. Тогда OA\perp PE
и OB\perp QE
, значит, A
и B
— середины катетов PE
и QE
прямоугольного треугольника PEQ
, а OA
и OB
— средние линии этого треугольника. Следовательно,
OA=\frac{1}{2}QE=\frac{1}{2}\cdot312=156,~OB=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{2}\cdot130=65.