5648. Касательная к описанной окружности треугольника KLM
, проходящая через точку K
, пересекает прямую LM
в точке N
. На стороне LM
взята точка A
, причём NK=NA
.
а) Докажите, что KA
— биссектриса треугольника KLM
.
б) Найдите LM
, если известно, KN=8
и KM=2KL
.
Ответ. 12.
Решение. а) Пусть точка N
лежит на продолжении стороны LM
за точку L
. Обозначим \angle AKN=\angle KAN=\alpha
, \angle KML=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle LKN=\angle KML=\beta,
а по теореме о внешнем угле треугольника —
\angle AKM=\angle KAN-\angle KML=\alpha-\beta,
но
\angle AKL=\angle AKN-\angle LKN=\alpha-\beta.
Следовательно, \angle AKL=\angle AKM
, т. е. KA
— биссектриса угла LKM
.
б) Треугольник KNM
подобен треугольнику LNK
по двум углам (\angle KMN=\angle LKN
, а угол при вершине N
общий), причём коэффициент подобия равен \frac{KM}{KL}=2
, значит, MN=2KN=16
и NL=\frac{1}{2}KN=4
. Следовательно,
LM=MN-NL=16-4=12.