5650. Основание равнобедренного треугольника равно 20, угол при вершине равен 2\arctg\frac{5}{12}
.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Ответ. 8.
Решение. а) Пусть O
— центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC=20
; AH
— высота треугольника ABC
(рис. 1), точки M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, K
— точка пересечения AH
и MN
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Поскольку AH
— медиана и биссектриса треугольника ABC
, то
\tg\angle BAH=\frac{5}{12},~AH=BH\ctg\angle BAH=10\cdot\frac{12}{5}=24,
AB=\sqrt{BH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}=26,
Поскольку MN
— средняя линия равнобедренного треугольника, точка K
— общая середина MN
и AH
, значит, KH=\frac{1}{2}AH=12
.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AH}{AB+BH}=\frac{10\cdot24}{26+10}=\frac{240}{36}=\frac{20}{3},
а диаметр вписанной окружности равен 2r=\frac{40}{3}
. Поскольку \frac{40}{3}\gt12
, диаметр окружности больше KH
. Следовательно, вписанная окружность пересекает среднюю линию MN
треугольника.
б) Пусть вписанная окружность касается сторон AB
и AC
в точках D
и E
соответственно (рис. 2), а средняя линия MN
пересекает эту окружность в точках P
и Q
(P
между M
и Q
). Тогда
AD=p-BC=36-20=16,~MD=AD-AM=16-13=3
(см. задачу 219). По теореме о касательной и секущей MD^{2}=MP\cdot MQ
, а так как
MP=NQ=\frac{1}{2}(MN-PQ)=\frac{1}{2}(10-PQ),~
MQ=MP+PQ=\frac{1}{2}(MN+PQ)=\frac{1}{2}(10+PQ),
то 9=\frac{1}{4}(10-PQ)(10+PQ)
. Отсюда находим, что PQ=8
.