5651. Из точки A
проведены касательная и перпендикулярная ей секущая к окружности радиуса R
с центром O
. Пусть B
— точка касания, а D
и C
— точки пересечения секущей с окружностью, причём D
— середина AC
.
а) Докажите, что AD=\frac{2}{3}R
.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOC
.
Ответ. \frac{7R^{2}\sqrt{2}}{9}
.
Решение. а) Пусть M
— проекция точки O
на прямую AC
. Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому M
— середина хорды CD
. Обозначим DM=CM=a
. Тогда
AD=CD=2a,~AM=AD+DM=2a+a=3a,
а так как ABOM
прямоугольник, то AM=OB=R
. Из равенства 3a=R
получаем, что a=\frac{R}{3}
. Следовательно,
AD=2a=\frac{2}{3}R.
б) Из прямоугольного треугольника OMC
находим, что
OM=\sqrt{OC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{R^{2}-a^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{R^{2}}{9}}=\frac{2R\sqrt{2}}{3},
а так как OM
— высота трапеции ABOC
, то
S_{ABOC}=\frac{OB+AC}{2}\cdot OM=\frac{R+\frac{4}{3}R}{2}\cdot\frac{2R\sqrt{2}}{3}=\frac{7R^{2}\sqrt{2}}{9}.