5655. В трапеции ABCD
основания BC
и AD
относятся как 1:3
. Пусть M
— середина боковой стороны CD
. Прямая AM
пересекает диагональ BD
в точке P
.
а) Докажите, что BP:PD=4:3
.
б) Найдите площадь четырёхугольника BCMP
, если известно, что площадь трапеции ABCD
равна 56.
Ответ. 11.
Решение. б) Высоты треугольников ABD
и BCD
, проведённые из вершин соответственно B
и D
, равны, значит, отношение площадей этих треугольников равно отношению оснований, т. е. 3:1
. Поэтому
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}\cdot56=14.
Тогда (см. задачу 3007),
S_{\triangle MDP}=\frac{DM}{DC}\cdot\frac{DP}{DB}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{7}\cdot14=3.
Следовательно,
S_{BCMP}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle MDP}=14-3=11.