5657. На стороне AD
ромба ABCD
как на диаметре построена окружность.
а) Докажите, что она проходит через точку пересечения диагоналей ромба.
б) Эта окружность пересекает сторону AB
в середине M
. Найдите CM
, если известно AD=2\sqrt{7}
.
Ответ. 7.
Решение. а) Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
ромба ABCD
. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \angle AOD=90^{\circ}
. Следовательно, точка O
лежит на окружности с диаметром AD
.
б) Точка M
лежит на окружности с диаметром AD
, значит, \angle AMD=90^{\circ}
. Высота DM
треугольника ABD
является его медианой, поэтому BD=AD
, а так как AB=AD
, то треугольник ABD
равносторонний со стороной 2\sqrt{7}
. Тогда
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Из треугольника BMC
по теореме косинусов находим, что
CM=\sqrt{BM^{2}+BC^{2}-2BM\cdot BC\cos120^{\circ}}=\sqrt{7+28+2\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}\cdot\frac{1}{2}}=7.