5661. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
.
а) Докажите, что четырёхугольник AB_{1}MC_{1}
равновелик треугольнику BMC
.
б) Известно, что треугольник ABC
прямоугольный, а точка M
удалена от гипотенузы и от одного из катетов на расстояния 6 и 10 соответственно. Найдите расстояние от этой точки до второго катета.
Ответ. 7,5.
Решение. а) Медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников (см. задачу 3013), следовательно,
S_{AB_{1}MC_{1}}=S_{\triangle AMB_{1}}+S_{\triangle AMC_{1}}=S_{\triangle BMA_{1}}+S_{\triangle CMA_{1}}=S_{\triangle BMC}.
б) Пусть \angle BAC=90^{\circ}
, MP
, MQ
и MH
— высоты равновеликих треугольников BMC
, AMB
и AMC
соответственно, MP=6
, MQ=10
. Обозначим BC=a
, AC=b
, MH=x
. Тогда (см. задачу 1967)
6a=10c=bx,~c=\frac{3}{5}a,~b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{9}{25}a^{2}}=\frac{4}{5}a.
Из равенства \frac{4}{5}ax=6a
находим, что x=\frac{15}{2}
.