5675. В треугольнике ABC
проведены две высоты BM
и CN
, причём AM:CM=2:3
и \cos\angle BAC=\frac{2}{\sqrt{5}}
.
а) Докажите, что угол ABC
тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN
и ABC
.
Ответ. \frac{2}{5}
.
Решение. а) Поскольку \cos\angle BAC\gt0
, точки C
и M
лежат по одну сторону от точки A
, а так как AM\lt CM
, точка M
лежит на отрезке AC
.
Положим AM=2x
, CM=3x
. Из прямоугольного треугольника ABM
находим, что
AB=\frac{AM}{\cos\angle BAC}=\frac{2x}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=x\sqrt{5}.
По теореме Пифагора
BM^{2}=AB^{2}-AM^{2}=5x^{2}-4x^{2}=x^{2},
BC=\sqrt{CM^{2}+BM^{2}}=\sqrt{9x^{2}+x^{2}}=x\sqrt{10}.
По теореме косинусов
\cos\angle ABC=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{5x^{2}+10x^{2}-25x^{2}}{2AB\cdot BC}=-\frac{10x^{2}}{2AB\cdot BC}\lt0.
Следовательно, \angle ABC\gt90^{\circ}
.
б) Из прямоугольных треугольников ANC
и BNC
находим, что
CN=AC\sin\angle BAC=5x\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=x\sqrt{5},
BN=\sqrt{BC^{2}-NC^{2}}=\sqrt{10x^{2}-5x^{2}}=x\sqrt{5},
значит, B
— середина AN
.
Обозначим S_{\triangle ANC}=S
. Тогда (см. задачу 3000).
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S,~S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AC}S_{\triangle ANC}=\frac{2}{5}S,~
S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}S=\frac{1}{5}S.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle BMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{5}S}{\frac{1}{2}S}=\frac{2}{5}.