5677. Две стороны треугольника равны 6 и 5, площадь треугольника равна 9. Медиана, проведённая к его третьей стороне, больше её половины.
а) Докажите, что треугольник остроугольный.
б) Найдите его наибольшую высоту.
Ответ. \frac{18}{\sqrt{13}}
.
Решение. а) Пусть \gamma
— угол треугольника, противолежащий третьей стороне, равной c
. Поскольку медиана, проведённая к стороне, равной c
, больше \frac{1}{2}c
, то вершина угла \gamma
данного треугольника лежит вне окружности, построенной на стороне c
как на диаметре, значит, угол \gamma
острый (см. задачу 1772), поэтому его косинус положителен.
По формуле площади треугольника S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
, откуда
\sin\gamma=\frac{2S}{ab}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},
а так как \cos\gamma\gt0
, то
\cos\gamma=\sqrt{1-\sin^{2}\gamma}=\frac{4}{5}.
По теореме косинусов
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma=25+36-2\cdot5\cdot6\cdot\frac{4}{5}=13,
поэтому c=\sqrt{13}
.
Сторона, равная 6, — наибольшая сторона треугольника, значит, против неё лежит наибольший угол. Обозначим его \alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{25+13-36}{2\cdot5\cdot\sqrt{13}}\gt0,
поэтому \alpha\lt90^{\circ}
, а так как это наибольший угол треугольника, то треугольник остроугольный.
б) Поскольку c=\sqrt{13}
— наименьшая сторона треугольника, на неё опущена наибольшая высота h_{c}
(см. задачу 3536). Пусть S
— площадь данного треугольника. Тогда
h_{c}=\frac{2S}{c}=\frac{18}{\sqrt{13}}.