5684. В треугольнике ABC
точки M
и K
лежат на сторонах BC
и AC
соответственно, причём отрезок BM
в 4 раза меньше стороны BC
. Прямые BK
и AM
пересекаются в точке O
— середине BK
, CK=4
, OM=2
.
а) Докажите, что треугольник AMC
равнобедренный.
б) Найдите BK
, если известно, что \angle OAC=60^{\circ}
.
Ответ. 4\sqrt{3}
.
Решение. а) Обозначим AK=x
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AM
в точке L
. Треугольники BOL
и KOA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому BL=AK=x
. Треугольник AMC
подобен треугольнику LMB
с коэффициентом \frac{CM}{MB}=3
, поэтому AC=3BL=3x
, а так как CK+AK=AC
, то 4+x=3x
. Отсюда находим, что x=2
, а AC=6
.
Обозначим BM=y
. Тогда BC=4y
, CM=3y
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекается с прямой BK
в точке N
. Треугольники AKN
и CKB
подобны с коэффициентом \frac{AK}{CK}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
, поэтому AN=\frac{1}{2}BC=2y
. Треугольник AON
подобен треугольнику MOB
с коэффициентом \frac{AN}{MB}=\frac{2y}{y}=2
, поэтому AO=2OM=4
. Значит, AM=6=AC
, следовательно, треугольник AMC
равнобедренный.
б) В треугольнике AOK
известно, что
AK=\frac{1}{2}CK=2,~AO=2OM=4,~\angle OAC=60^{\circ}.
По теореме косинусов
OK=\sqrt{AK^{2}+AO^{2}-2AK\cdot AO\cos60^{\circ}}=\sqrt{4+16-8}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Следовательно,
BK=2OK=4\sqrt{3}.