5685. Пусть O_{1}
— центр вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC
, а O_{2}
— центр вневписанной окружности, касающейся основания BC
.
а) Докажите, что расстояние от середины отрезка O_{1}O_{2}
до точки C
вдвое меньше O_{1}O_{2}
.
б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Ответ. 1:2
, считая от вершины A
.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому CO_{1}
— биссектриса угла ACB
, а CO_{2}
— биссектриса смежного с ним угла. Значит, \angle O_{1}CO_{2}=90^{\circ}
(см. задачу 937). Медиана CM
прямоугольного треугольника O_{1}CO_{2}
равна половине гипотенузы O_{1}O_{2}
. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что точки A
, O_{1}
, O_{2}
и середина H
основания BC
лежат на биссектрисе угла BAC
, а значит, на одной прямой. Пусть N
— точка касания вписанной окружности радиуса r
с боковой стороной AC
, F
— проекция точки O_{1}
на радиус O_{2}K=5r
, проведённый в точку K
касания вневписанной окружности с продолжением боковой стороны AC
. Тогда
O_{1}O_{2}=O_{1}H+O_{2}H=r+5r=6r,~
O_{2}F=O_{2}K-FK=O_{2}K-O_{1}N=5r-r=4r,
KN=O_{1}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{36r^{2}-16r^{2}}=2r\sqrt{5},
NC=CH=CK=\frac{1}{2}KN=\sqrt{5}.
Прямоугольные треугольники ANO_{1}
и O_{1}FO_{2}
подобны, поэтому \frac{AN}{O_{1}N}=\frac{O_{1}F}{O_{2}F}
, или
\frac{AN}{r}=\frac{2\sqrt{5}}{4r}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Отсюда находим, что AN=\frac{r\sqrt{5}}{2}
. Следовательно,
\frac{AN}{NC}=\frac{\frac{r\sqrt{5}}{2}}{r\sqrt{5}}=\frac{1}{2}.