5688. Вершины параллелограмма расположены (по одной) на сторонах ромба.
а) Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения сторон параллелограмма с диагоналями ромба также является ромбом.
б) Найдите отношение площади этого ромба к площади исходного, если известно, что вершины параллелограмма делят стороны исходного ромба в отношении 1:2
(в направлении по часовой стрелке).
Ответ. 25:81
.
Решение. а) Пусть вершины K
, L
, M
и N
параллелограмма KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
ромба ABCD
. Тогда центр O
ромба совпадает с центром параллелограмма (см. задачу 1057).
Пусть диагональ BD
пересекает стороны KL
и MN
параллелограмма KLMN
в точках E
и G
соответственно, а диагональ AC
пересекает стороны KN
и LM
в точках H
и F
соответственно.
Треугольники EOL
и GON
равны по стороне (OL=ON
, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам) и двум прилежащим к ней углам, поэтому OE=OG
. Аналогично OH=OF
. Диагонали EG
и FH
перпендикулярны и делятся точкой пересечения O
пополам. Следовательно, EFGH
— ромб.
б) Точки E
и F
лежат на сторонах соответственно LK
и LM
треугольника KLM
, причём \frac{LE}{LK}=\frac{2}{3}
и \frac{LF}{LM}=\frac{1}{3}
. Значит (см. задачу 3007),
S_{\triangle ELF}=\frac{LE}{LK}\cdot\frac{LF}{LM}\cdot S_{\triangle KLM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{KLMN}=\frac{1}{9}S_{KLMN}.
Аналогично
S_{\triangle FMG}=S_{\triangle GNH}=S_{\triangle HKE}=\frac{1}{9}S_{KLMN}.
Следовательно,
S_{EFGH}=S_{KLMN}-4S_{\triangle ELF}=S_{KLMN}-\frac{4}{9}S_{KLMN}=\frac{5}{9}S_{KLMN}.
Диагональ ромба является биссектрисой угла ромба, поэтому DE
— биссектриса треугольника KDL
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BK}{BL}=\frac{KE}{EL}=\frac{1}{2}
. Аналогично
\frac{CL}{LM}=\frac{MD}{DN}=\frac{AN}{AK}=\frac{1}{2}
значит,
S_{\triangle KAN}=S_{\triangle MDN}=S_{\triangle LCM}=S_{\triangle KDL}=\frac{DK}{AD}\cdot\frac{DL}{CD}\cdot S_{\triangle ADC}=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{9}S_{ABCD},
поэтому
S_{KLMN}=S_{ABCD}-4S_{\triangle KDL}=S_{ABCD}-4\cdot\frac{1}{9}S_{ABCD}=\frac{5}{9}S_{ABCD},
S_{ABCD}=\frac{9}{5}S_{KLMN}.
Следовательно,
\frac{S_{EFHG}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{5}{9}S_{KLMN}}{\frac{9}{5}S_{KLMN}}=\frac{25}{81}.