5689. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом; прямая касается первой окружности в точке A
, а второй — в точке B
. Известно, радиус первой окружности вдвое меньше радиуса второй.
а) Докажите, что треугольник BO_{1}O_{2}
равнобедренный.
б) Пусть M
— точка пересечения отрезка O_{1}B
с первой окружностью. Найдите площадь треугольника O_{1}MO_{2}
, если известно, что площадь треугольника AMB
равна 10.
Ответ. 10.
Решение. а) Положим O_{1}A=r
, O_{2}B=2r
. Пусть F
— проекция точки O_{1}
на O_{2}B
. Тогда ABFO_{1}
— прямоугольник, поэтому
BF=O_{1}A=r,~O_{2}F=O_{2}B-BF=2r-r=r=BF.
Значит, высота O_{1}F
треугольника BO_{1}O_{2}
является его медианой. Следовательно, треугольник BO_{1}O_{2}
равнобедренный.
б) Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, O_{1}O_{2}=r+2r=3r
, а так как O_{1}B=O_{1}O_{2}=3r
, то
MB=O_{1}B-O_{1}M=3r-r=2r=O_{2}B,
значит, треугольник MBO_{2}
равнобедренный. Его угол при вершине B
равен углу при вершине O_{1}
равнобедренного треугольника AO_{1}M
(так как O_{1}A\parallel O_{2}B
), значит, \angle AMO_{1}=\angle BMO_{2}
как углы при основаниях этих равнобедренных треугольников. Поэтому точка M
лежит на отрезке AO_{2}
, и M
— точка пересечения диагоналей прямоугольной трапеции O_{1}ABO_{2}
. Следовательно,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=S_{\triangle AMB}=10
(см. задачу 3017).