5694. Около треугольника ABC
описана окружность. Диаметр AD
пересекает сторону BC
в точке E
, при этом AE=AC
.
а) Докажите, что BD=BE
.
б) Известно, что и BE:CE=2:3
. Найдите отношение DE:AE
.
Ответ. 1:3
.
Решение. а) Вписанные углы CBD
и CAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DBE=\angle DBC=\angle CAD=\angle CAE.
Треугольник DBE
подобен равнобедренному треугольнику CAE
по двум углам, значит, треугольник DBE
также равнобедренный. Следовательно, BD=BE
.
б) Обозначим \angle ADB=\angle ACE=\alpha
, AC=AE=x
, DE=y
и положим BD=BE=2a
, CE=3a
.
Точка B
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ABD=90^{\circ}
. Из равнобедренного треугольника ACE
и прямоугольного треугольника ABD
находим, что
\cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}CE}{AE}=\frac{3a}{2x},~\cos\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{2a}{x+y}.
Тогда \frac{3a}{2x}=\frac{2a}{x+y}
, или \frac{3}{2x}=\frac{2}{x+y}
. Отсюда находим, что x=3y
. Следовательно, \frac{DE}{AE}=\frac{y}{x}=\frac{1}{3}
.