5696. Биссектриса угла ADC
параллелограмма ABCD
пересекает прямую AB
в точке E
. В треугольник ADE
вписана окружность, касающаяся стороны AE
в точке K
и стороны AD
в точке T
.
а) Докажите, что KT\parallel DE
.
б) Найдите угол BAD
, если известно, что сторона AD=6
и KT=3
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. а) Прямые AE
и CD
параллельны, а DE
— биссектриса угла ADC
, поэтому \angle AED=\angle CDE=\angle ADE
. Значит, треугольник ADE
равнобедренный, AD=AE
. Отрезки AK
и AT
касательных, проведённых к окружности из точки A
, равны, значит, треугольник ATK
также равнобедренный, причём угол при вершине A
у этих треугольников общий. Поэтому \angle ATK=\angle ADE
. Следовательно, KT\parallel DE
.
б) Пусть окружность касается основания DE
равнобедренного треугольника ADE
в точке M
. Тогда M
— середина DE
. Обозначим DM=x
. Тогда DT=DM=x
, AT=AD-DT=6-x
. Треугольник ATK
подобен треугольнику ADE
, поэтому \frac{AT}{AD}=\frac{TK}{DE}
, или \frac{6-x}{6}=\frac{3}{2x}
. Отсюда находим, что x=3
. Тогда DE=2x=6
, значит, треугольник ADE
равносторонний. Следовательно, \angle BAD=\angle EAD=60^{\circ}
.